SMO 2006 - Senior - Vòng 2

Cho $a,d$ là các số nguyên sao cho $a,a+d,a+2d$ đều là các số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng $d$ là bội của $6$.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Hai tia phân giác tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $E$. Đường thẳng qua $E$ song song với cạnh $CD$ cắt $AD$ tại $L$ và $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $LA+MB=LM$.

Hai đường tròn tiếp xúc trong tại $T$. Dây $AB$ của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại $P$. Chứng minh rằng đường thẳng $TP$ chia đôi $\angle ATB$.

Bạn có nhiều viên ghép hình tam giác đều bằng nhau trên bàn và muốn ghép $n$ viên thành một lục giác lồi có các góc bằng nhau (tức mỗi góc trong bằng $120^\circ$). Rõ ràng không phải mọi số nguyên dương $n$ đều thực hiện được. Ba giá trị nhỏ nhất thực hiện được là $6$, $10$ và $13$. Xác định xem $19$ và $20$ có thực hiện được không.

Có ý kiến cho rằng số

$$N=526315789473684210$$

là một số bền vững, nghĩa là khi nhân với bất kỳ số nguyên dương nào, số thu được luôn chứa đủ mười chữ số $0,1,\ldots,9$ theo một thứ tự nào đó, có thể lặp lại.

(a) Chứng minh hoặc bác bỏ ý kiến này.

(b) Có số bền vững nào nhỏ hơn số trên không?