SMO 2006 - Junior - Vòng 2

Tìm tất cả các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình

$$x+y=x^2-xy+y^2.$$

Phân số $\frac 23$ có thể viết thành tổng của hai phân số đơn vị khác nhau: $\frac 12+\frac 16$. Chứng minh rằng phân số $\frac{p-1}{p}$, với $p\ge 5$ là số nguyên tố, không thể viết thành tổng của hai phân số đơn vị khác nhau.

Giả sử mỗi người trong $n$ người biết đúng một thông tin, và $n$ thông tin này đôi một khác nhau. Mỗi lần người $A$ gọi điện cho người $B$, $A$ nói cho $B$ tất cả những gì mình biết, còn $B$ không nói cho $A$ điều gì. Cần ít nhất bao nhiêu cuộc gọi giữa các cặp người để tất cả mọi người đều biết mọi thông tin?

Trong tam giác $ABC$, tia phân giác của $\angle B$ cắt $AC$ tại $D$, tia phân giác của $\angle C$ cắt $AB$ tại $E$. Hai tia phân giác cắt nhau tại $O$ và $OD=OE$. Nếu $AD\ne AE$, chứng minh rằng $\angle A=60^\circ$.

Bạn có nhiều viên ghép hình tam giác đều bằng nhau trên bàn và muốn ghép $n$ viên thành một lục giác lồi có các góc bằng nhau (tức mỗi góc trong bằng $120^\circ$). Rõ ràng không phải mọi số nguyên dương $n$ đều thực hiện được. Ba giá trị nhỏ nhất thực hiện được là $6$, $10$ và $13$. Chứng minh rằng không thể dùng $12$ viên nhưng có thể dùng $14$ viên.