Một số nguyên được gọi là không chứa thừa số chính phương nếu nó không chia hết cho $a^2$ với bất kỳ số nguyên $a\gt 1$ nào. Gọi $S$ là tập các số nguyên dương không chứa thừa số chính phương. Hãy tính, kèm theo lời giải thích, giá trị của
$$\sum_{k\in S}\left\lfloor\sqrt{\frac{10^{10}}{k}}\right\rfloor,$$
trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Ví dụ, $\lfloor2.5\rfloor=2$.
Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Gọi $E$ là giao điểm của $BQ$ và $GC$, $F$ là giao điểm của $CP$ và $GB$. Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $DEF$ đồng dạng.
Đính chính biên tập về nguồn: đề in không định nghĩa điểm $D$. Lời giải và hình vẽ trong nguồn dùng $D$ là trung điểm của $BC$. Nội dung đề gốc ở trên được giữ nguyên; lời giải dưới đây có điều kiện, theo định nghĩa được suy ra này. Câu này cần được duyệt.
Đặt $2005$ điểm trên đường tròn. Hai điểm $P,Q$ được gọi là một cặp láng giềng nếu dây $PQ$ chắn ở tâm một góc không quá $10^\circ$. Tìm số cặp láng giềng nhỏ nhất.