APMO 2021 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương Câu hỏi 2

Với đa thức $P$ và số nguyên dương $n$, gọi $P_n$ là số cặp số nguyên dương $(a,b)$ có $a\lt b\le n$ sao cho $|P(a)|-|P(b)|$ chia hết cho $n$. Tìm mọi đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn $P_n\le2021$ với mọi số nguyên dương $n$.