AIME năm 1986

Tổng nghiệm của phương trình $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?$ là bao nhiêu

Đánh giá sản phẩm $$
\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}
$$

Nếu $\tan x+\tan y=25$ và $\cot x+\cot y=30,$ $\tan(x+y)?$ là gì

Xác định $3x_4+2x_5$ nếu $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ và $x_5$ thỏa mãn hệ $$
\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}
$$

Số nguyên dương lớn nhất $n$ mà $n^3+100$ là chia hết cho $n+10?$

Các trang của một cuốn sách được đánh số từ $1$ đến $n.$ Khi số trang của cuốn sách được thêm vào, một trong các số trang đã được thêm nhầm hai lần, dẫn đến tổng không chính xác là $1986.$ Số trang được thêm hai lần là bao nhiêu?

Dãy số tăng $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ bao gồm tất cả các số nguyên dương là lũy thừa của $3$ hoặc tổng của lũy thừa riêng biệt của $3.$ Tìm số hạng thứ $100$của dãy này.

Đặt $S$ là tổng của logarit cơ số $10$ của tất cả các ước số thực sự của $1000000.$ Số nguyên nào gần nhất với $S?$

Trong $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ và $AC=510.$ Một điểm bên trong $P$ được vẽ và các đoạn được vẽ qua $P$ song song với các cạnh của tam giác. Nếu ba đoạn này có độ dài bằng nhau $d,$ hãy tìm $d.$

Trong trò chơi trong phòng khách, nhà ảo thuật yêu cầu một trong những người tham gia nghĩ về một số có ba chữ số $(abc),$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ đại diện cho các chữ số cơ sở-$10$ theo thứ tự được chỉ định. Sau đó, ảo thuật gia yêu cầu người này tạo thành các số $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ và $(cba),$ để cộng năm số này và tiết lộ tổng của chúng $N.$ Nếu được yêu cầu $N,$ ảo thuật gia có thể xác định được số ban đầu $(abc).$ Đóng vai nhà ảo thuật và xác định $(abc)$ nếu $N=3194.$

Đa thức $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ có thể được viết dưới dạng $$
\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}
$$ trong đó $y=x+1$ và $a_i$ là các hằng số. Tìm $a_2.$

Gọi tổng của một tập hợp số là tổng các phần tử của nó. Đặt $S$ là tập hợp các số nguyên dương, không có số nào lớn hơn $15.$ Giả sử không có hai tập hợp con rời rạc của $S$ có cùng tổng. Tổng lớn nhất mà một tập hợp $S$ có các thuộc tính này có thể có là bao nhiêu?

Trong một chuỗi các lần tung đồng xu, người ta có thể ghi lại các trường hợp trong đó mặt sấp ngay sau đó là mặt ngửa, mặt ngửa ngay sau đó, v.v. Chúng tôi biểu thị những điều này bằng $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$, v.v. Ví dụ: trong chuỗi $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ của $15$ lần tung đồng xu, có hai $\mathrm{HH},$ ba $\mathrm{HT},$ bốn $\mathrm{TH},$ và năm $\mathrm{TT}$ chuỗi con. Có bao nhiêu chuỗi lần tung đồng xu $15$ khác nhau chứa chính xác hai chuỗi $\mathrm{HH},$ ba $\mathrm{HT},$ bốn $\mathrm{TH},$ và năm chuỗi $\mathrm{TT}$?

Khoảng cách ngắn nhất giữa đường chéo bên trong của hình bình hành hình chữ nhật $P$ và các cạnh mà nó không đáp ứng là $2\sqrt5,$ $\frac{30}{\sqrt{13}},$ và $\frac{15}{\sqrt{10}}.$ Xác định thể tích của $P.$

Cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông trong mặt phẳng $xy$ với một góc vuông tại $C.$ Cho rằng cạnh huyền $AB$ có độ dài $60,$ và các đường trung tuyến đi qua $A$ và $B$ nằm dọc theo các dòng $y=x+3$ và $y=2x+4,$ tương ứng, tìm diện tích của $\triangle ABC.$