IMC 2005 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=20=ab+bc-ca-b^2$. Tìm mọi giá trị có thể của $abc$.

Tổng bốn mươi chín số nguyên dương bằng $624$. Chứng minh có ba số bằng nhau.

Dãy $2,3,5,6,7,10,\ldots$ gồm mọi số nguyên dương không là số chính phương cũng không là số lập phương, theo thứ tự tăng. Tìm số thứ hai nghìn không trăm lẻ năm.

$ABCD$ là tứ giác lồi. Hai đường tròn nội tiếp các tam giác $BAD$ và $BCD$ tiếp xúc nhau. Chứng minh $ABCD$ có đường tròn nội tiếp.

Hãy tìm cách chia một tam giác thành hai mươi tam giác bằng nhau.

Bạn chơi năm ván với Quỷ, ban đầu có ba đô la. Mỗi ván bạn đặt một số nguyên đô la từ không đến số tiền đang có. Thắng thì Quỷ trả lại gấp đôi tiền đặt; thua thì mất tiền đó. Bạn thua đúng một ván, và Quỷ chọn ván thua sau khi biết tiền đặt. Số tiền cuối cùng lớn nhất bạn có thể bảo đảm là bao nhiêu?

Một con ếch bắt đầu ở ô kề một ô góc của bàn $5\times5$. Mỗi bước nhảy sang ô kề ngang hoặc dọc, không nhảy chéo. Chứng minh nó không thể thăm mỗi ô đúng một lần.

Nếu $n^4-4n^3+15n^2-30n+27$ là số nguyên tố, số nguyên dương $n$ có thể bằng bao nhiêu?

Mảnh V-tromino là hình vuông $2\times2$ bỏ một ô góc. Chứng minh dù bỏ ô nào khỏi bàn $7\times7$, phần còn lại luôn ghép kín được bằng mười sáu mảnh V-tromino.

Tìm mọi số nguyên dương $a_0\gt a_1\gt \cdots\gt a_n\gt 1$ thỏa mãn $$\left(1-\frac1{a_1}\right)+\cdots+\left(1-\frac1{a_n}\right)=2\left(1-\frac1{a_0}\right).$$