Câu hỏi 49
Giả sử $f$ là một hàm được xác định trên các số thực dương có các thuộc tính sau:
(1) $f(1) = 1$,
(2) $f(x + 1) = x f(x)$ và
(3) $f(x) = 10^{g(x)}$,
trong đó $g(x)$ là hàm được xác định trên số thực thỏa mãn
$$
g(ty + (1-t)z) \leq t g(y) + (1-t) g(z)
$$
cho tất cả $y$ và $z$ và cho $0 \leq t \leq 1$.
a. Chứng minh rằng $t [g(n) - g(n-1)] \leq g(n+t) - g(n) \leq t [g(n+1) - g(n)]$ trong đó $n$ là số nguyên và $0 \leq t \leq 1$.
b. Chứng minh rằng $\frac{4}{3} \leq f(\frac{1}{2}) \leq \frac{4}{3} \sqrt{2}$.
(1) $f(1) = 1$,
(2) $f(x + 1) = x f(x)$ và
(3) $f(x) = 10^{g(x)}$,
trong đó $g(x)$ là hàm được xác định trên số thực thỏa mãn
$$
g(ty + (1-t)z) \leq t g(y) + (1-t) g(z)
$$
cho tất cả $y$ và $z$ và cho $0 \leq t \leq 1$.
a. Chứng minh rằng $t [g(n) - g(n-1)] \leq g(n+t) - g(n) \leq t [g(n+1) - g(n)]$ trong đó $n$ là số nguyên và $0 \leq t \leq 1$.
b. Chứng minh rằng $\frac{4}{3} \leq f(\frac{1}{2}) \leq \frac{4}{3} \sqrt{2}$.