Câu hỏi 31
Cho $a$ và $b$ là các số nguyên khác nhau của $0$, $1$ và $-1$, và xem xét ma trận $$
\left(
\begin{array}{ccccc}
a+b & a+b^{2} & a+b^{3} & \ldots & a+b^{m} \\
a^{2}+b & a^{2}+b^{2} & a^{2}+b^{3} & \ldots & a^{2}+b^{m} \\
a^{3}+b & a^{3}+b^{2} & a^{3}+b^{3} & \ldots & a^{3}+b^{m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a^{n}+b & a^{n}+b^{2} & a^{n}+b^{3} & \ldots & a^{n}+b^{m}
\end{array}
\right)
$$ Xác định một tập hợp con $S$ của các hàng của ma trận đó, càng ít càng tốt, sao cho bất kỳ hàng nào khác có thể được biểu thị bằng tổng các hàng của $S$ nhân với số nguyên thích hợp (tức là, như một tổ hợp tuyến tính với hệ số số nguyên của các hàng $S$). Làm cho các kết hợp tuyến tính này trở nên rõ ràng.
\left(
\begin{array}{ccccc}
a+b & a+b^{2} & a+b^{3} & \ldots & a+b^{m} \\
a^{2}+b & a^{2}+b^{2} & a^{2}+b^{3} & \ldots & a^{2}+b^{m} \\
a^{3}+b & a^{3}+b^{2} & a^{3}+b^{3} & \ldots & a^{3}+b^{m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a^{n}+b & a^{n}+b^{2} & a^{n}+b^{3} & \ldots & a^{n}+b^{m}
\end{array}
\right)
$$ Xác định một tập hợp con $S$ của các hàng của ma trận đó, càng ít càng tốt, sao cho bất kỳ hàng nào khác có thể được biểu thị bằng tổng các hàng của $S$ nhân với số nguyên thích hợp (tức là, như một tổ hợp tuyến tính với hệ số số nguyên của các hàng $S$). Làm cho các kết hợp tuyến tính này trở nên rõ ràng.