Câu hỏi 185
Một bảng vô hạn gồm các số nguyên không âm được xây dựng như sau: ở hàng trên cùng, một số số là $1$ và tất cả các số khác là $0$; ở mỗi hàng tiếp theo, mỗi số là tổng của một số hai trong ba số gần nhất ở hàng trước. Một ví dụ về một bảng như vậy được hiển thị dưới đây.
$$
\begin{array}{ccccccccccc}
\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 1 & 2 & 4 & 4 & 6 & 3 & 2 & 0 & \cdots \\
. \cdot & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
$$
Hàng trên cùng (với một $1$) được gọi là hàng $0$; hàng tiếp theo là hàng $1$; hàng tiếp theo là hàng $2$, v.v.
Lưu ý rằng các vấn đề sau đây yêu cầu bạn phải chứng minh các phát biểu cho mọi bảng có thể được xây dựng bằng quy trình được mô tả ở trên, không chỉ cho ví dụ được hiển thị.
1. Chứng minh rằng mọi số trên hàng $n$ (đối với $n\gt 0$) lớn nhất là $2^{n-1}$.
$$
\begin{array}{ccccccccccc}
\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\
\cdots & 0 & 1 & 2 & 4 & 4 & 6 & 3 & 2 & 0 & \cdots \\
. \cdot & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
$$
Hàng trên cùng (với một $1$) được gọi là hàng $0$; hàng tiếp theo là hàng $1$; hàng tiếp theo là hàng $2$, v.v.
Lưu ý rằng các vấn đề sau đây yêu cầu bạn phải chứng minh các phát biểu cho mọi bảng có thể được xây dựng bằng quy trình được mô tả ở trên, không chỉ cho ví dụ được hiển thị.
1. Chứng minh rằng mọi số trên hàng $n$ (đối với $n\gt 0$) lớn nhất là $2^{n-1}$.