Câu hỏi 125
Tìm (có chứng minh) tất cả các đa thức monic $f(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn hai điều kiện sau.
1. $f(0)=2004$.
2. Nếu $x$ vô tỷ thì $f(x)$ cũng vô tỷ.
(Lưu ý: Đa thức là monic nếu số hạng bậc cao nhất của nó có hệ số 1. Do đó, $f(x)=x^{4}-5 x^{3}-4 x+7$ là một ví dụ về đa thức monic có hệ số nguyên.
Một số $x$ là số hữu tỉ nếu nó có thể được viết dưới dạng phân số của hai số nguyên. Một số $x$ là số vô tỷ nếu đó là số thực không thể viết dưới dạng phân số của hai số nguyên. Ví dụ: $2 / 5$ và $-9$ là hợp lý, trong khi $\sqrt{2}$ và $\pi$ được biết đến là vô tỷ.)
1. $f(0)=2004$.
2. Nếu $x$ vô tỷ thì $f(x)$ cũng vô tỷ.
(Lưu ý: Đa thức là monic nếu số hạng bậc cao nhất của nó có hệ số 1. Do đó, $f(x)=x^{4}-5 x^{3}-4 x+7$ là một ví dụ về đa thức monic có hệ số nguyên.
Một số $x$ là số hữu tỉ nếu nó có thể được viết dưới dạng phân số của hai số nguyên. Một số $x$ là số vô tỷ nếu đó là số thực không thể viết dưới dạng phân số của hai số nguyên. Ví dụ: $2 / 5$ và $-9$ là hợp lý, trong khi $\sqrt{2}$ và $\pi$ được biết đến là vô tỷ.)