Câu hỏi 21
Cho $S = \{1, 2, \dots, 100\}$. Xác định số hàm số $f : S \to S$ thỏa mãn điều kiện sau.
(i) $f(1) = 1$;
(ii) $f$ là phỏng đoán (tức là với mọi $y$ trong $S$, phương trình $f(x) = y$ có đúng một nghiệm);
(iii) $f(n) = f(g(n))f(h(n))$ cho mọi $n$ trong $S$.
Ở đây $g(n)$ và $h(n)$ biểu thị các số nguyên dương được xác định duy nhất sao cho $g(n) \le h(n)$, $g(n)h(n) = n$ và $h(n)-g(n)$ càng nhỏ càng tốt. (Ví dụ: $g(80) = 8$, $h(80) = 10$ và $g(81) = h(81) = 9$.)
(i) $f(1) = 1$;
(ii) $f$ là phỏng đoán (tức là với mọi $y$ trong $S$, phương trình $f(x) = y$ có đúng một nghiệm);
(iii) $f(n) = f(g(n))f(h(n))$ cho mọi $n$ trong $S$.
Ở đây $g(n)$ và $h(n)$ biểu thị các số nguyên dương được xác định duy nhất sao cho $g(n) \le h(n)$, $g(n)h(n) = n$ và $h(n)-g(n)$ càng nhỏ càng tốt. (Ví dụ: $g(80) = 8$, $h(80) = 10$ và $g(81) = h(81) = 9$.)