Câu hỏi 73
Cho bốn số nguyên dương $m, n, p, q$, với $p \lt m$ và $q \lt n$. Lấy bốn điểm $A(0; 0)$, $B(p; 0)$, $C(m; q)$ và $D(m; n)$ trong mặt phẳng tọa độ.
Xét các đường dẫn $f$ từ $A$ đến $D$ và các đường dẫn $g$ từ $B$ đến $C$ sao cho khi đi dọc theo $f$ hoặc $g$ chỉ đi theo chiều dương của các trục tọa độ và chỉ được phép thay đổi các hướng (từ chiều dương của trục tọa độ này sang chiều dương của trục tọa độ kia) tại các điểm có tọa độ nguyên.
Gọi $S$ là số cặp $(f, g)$ sao cho $f$ và $g$ không có điểm chung. Chứng minh rằng
$$
S = C_{m+n}^{p} \cdot C_{m+q-p}^{q} - C_{m+q}^{p} \cdot C_{m+n-p}^{q}.
$$
Xét các đường dẫn $f$ từ $A$ đến $D$ và các đường dẫn $g$ từ $B$ đến $C$ sao cho khi đi dọc theo $f$ hoặc $g$ chỉ đi theo chiều dương của các trục tọa độ và chỉ được phép thay đổi các hướng (từ chiều dương của trục tọa độ này sang chiều dương của trục tọa độ kia) tại các điểm có tọa độ nguyên.
Gọi $S$ là số cặp $(f, g)$ sao cho $f$ và $g$ không có điểm chung. Chứng minh rằng
$$
S = C_{m+n}^{p} \cdot C_{m+q-p}^{q} - C_{m+q}^{p} \cdot C_{m+n-p}^{q}.
$$