Câu hỏi 117
Cho $0 \lt a \lt b \lt 1$ là số thực và
$$
g(x) = \begin{cases} x + 1 - a, & \text{nếu} 0 \lt x \lt a, \\ b - a, & \text{nếu} x = a, \\ x - a, & \text{nếu} a \lt x \lt b, \\ 1 - a, & \text{nếu} x = b, \\ x - a, & \text{nếu} b \lt x \lt 1. \end{cases}
$$
Giả sử rằng với một số nguyên dương $n$ có các số thực $n+1$ $0 \lt x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n \lt 1$ sao cho $g^n(x_i) = x_i$ cho $0 \le i \le n$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho $g^N(x) = x$ với mọi $0 \lt x \lt 1$. (Ký hiệu: $g^k(x) = \underbrace{g(g(\dots(g(x))\dots))}_{k \text{lần}}$).
$$
g(x) = \begin{cases} x + 1 - a, & \text{nếu} 0 \lt x \lt a, \\ b - a, & \text{nếu} x = a, \\ x - a, & \text{nếu} a \lt x \lt b, \\ 1 - a, & \text{nếu} x = b, \\ x - a, & \text{nếu} b \lt x \lt 1. \end{cases}
$$
Giả sử rằng với một số nguyên dương $n$ có các số thực $n+1$ $0 \lt x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n \lt 1$ sao cho $g^n(x_i) = x_i$ cho $0 \le i \le n$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho $g^N(x) = x$ với mọi $0 \lt x \lt 1$. (Ký hiệu: $g^k(x) = \underbrace{g(g(\dots(g(x))\dots))}_{k \text{lần}}$).