Câu hỏi 81
Giáo sư Moriarty đã thiết kế một “con đường thử nghiệm cơ bản”. Đường mòn có 2002 trạm, được dán nhãn $1, \ldots, 2002$. Mỗi trạm có màu đỏ hoặc xanh lục và chứa một bảng biểu thị, đối với mỗi chữ số $0, \ldots, 9$, một số trạm khác. Một học sinh được cho một số nguyên dương $n$, sau đó đi dọc theo con đường, bắt đầu từ ga $1$. Học sinh đọc chữ số đầu tiên (ngoài cùng bên trái) của $n$ và tra cứu chữ số này trong bảng của trạm $1$ để có được vị trí trạm mới. Sau đó, học sinh đi đến trạm mới này, đọc chữ số thứ hai của $n$ và tra cứu nó trong bảng của trạm này để có được một vị trí trạm khác, v.v., cho đến khi chữ số cuối cùng (ngoài cùng bên phải) của $n$ đã được đọc và tra cứu, đưa học sinh đến trạm cuối cùng của mình. Dưới đây là ví dụ hiển thị các giá trị có thể có của một số bảng. Giả sử rằng $n=19$ :
| Trạm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 (đỏ) | 15 | 29 | 314 | 16 | 2002 | 97 | 428 | 1613 | 91 | 24 |
| $\vdots$ | | | | | | | | | | |
| $\vdots$ | | | | | | | | | | |
| 29 (đỏ) | 98 | 331 | 1918 | 173 | 15 | 41 | 17 | 631 | 1211 | 1429 |
| $\vdots$ | | | | | | | | | | |
| 1429 (xanh) | 7 | 18 | 31 | 43 | 216 | 1709 | 421 | 53 | 224 | 1100 |
Sử dụng các bảng này, trạm $1$, chữ số $1$ dẫn đến trạm $29$; trạm $29$, chữ số $9$ dẫn đến trạm $1429$; và trạm $1429$ có màu xanh lá cây.
Giáo sư Moriarty tuyên bố rằng đối với bất kỳ số nguyên dương $n$ nào, trạm cuối cùng (trong ví dụ là $1429$) sẽ có màu xanh khi và chỉ nếu $n$ là số nguyên tố. Điều này có thể thực hiện được không?
| Trạm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 (đỏ) | 15 | 29 | 314 | 16 | 2002 | 97 | 428 | 1613 | 91 | 24 |
| $\vdots$ | | | | | | | | | | |
| $\vdots$ | | | | | | | | | | |
| 29 (đỏ) | 98 | 331 | 1918 | 173 | 15 | 41 | 17 | 631 | 1211 | 1429 |
| $\vdots$ | | | | | | | | | | |
| 1429 (xanh) | 7 | 18 | 31 | 43 | 216 | 1709 | 421 | 53 | 224 | 1100 |
Sử dụng các bảng này, trạm $1$, chữ số $1$ dẫn đến trạm $29$; trạm $29$, chữ số $9$ dẫn đến trạm $1429$; và trạm $1429$ có màu xanh lá cây.
Giáo sư Moriarty tuyên bố rằng đối với bất kỳ số nguyên dương $n$ nào, trạm cuối cùng (trong ví dụ là $1429$) sẽ có màu xanh khi và chỉ nếu $n$ là số nguyên tố. Điều này có thể thực hiện được không?