Câu hỏi 160
Cho $n$ là số nguyên dương, còn Pushover là trò chơi do hai người chơi, đứng vuông góc với nhau, đẩy nhau, ai mất thăng bằng trước sẽ thua. Tại HMPT, các đối thủ $2^{n+1}$, được đánh số từ 1 đến $2^{n+1}$ theo chiều kim đồng hồ, đứng thành vòng tròn. Họ ngang nhau trong Pushover: bất cứ khi nào hai người trong số họ đối đầu, mỗi người đều có xác suất chiến thắng $50\%$. Giải đấu diễn ra theo các vòng $n+1$. Trong mỗi vòng, trọng tài chọn ngẫu nhiên một trong những người chơi còn sống và các người chơi sẽ ghép đôi theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ người đã chọn. Mỗi cặp đối đầu trong Pushover và người thua cuộc sẽ rời khỏi vòng tròn. Xác suất để người chơi 1 và $2^{n}$ gặp nhau ở vòng cuối cùng là bao nhiêu? Thể hiện câu trả lời của bạn dưới dạng $n$.