Câu hỏi 66
Đặt $m$, $n$ là số nguyên lớn hơn $1$. Một lưới $m \times n$ được đưa ra. Chúng ta muốn viết số nguyên vào mỗi ô vuông sao cho
(i) ít nhất một trong các mục khác 0 và
(ii) đối với mỗi hình vuông $S$, $\sigma(S) = 0$, trong đó $\sigma(S)$ biểu thị tổng của phần tử trong tất cả các hình vuông cạnh $S$ (tức là tất cả các hình vuông có chung một cạnh với $S$).
Ví dụ: hãy để $m = 3$, $n = 4$. Giả sử chúng ta viết $1$ ở tất cả các ô vuông đơn vị.
| 1 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Nếu chúng ta viết $\sigma(S)$ vào mỗi ô vuông, nó sẽ hiển thị
| 2 | 3 | 3 | 2 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 4 | 3 |
| 2 | 3 | 3 | 2 |
và như vậy theo cách này điều kiện (ii) không đúng.
Chúng ta gọi $(m, n)$ là một *cặp tốt* nếu chúng ta có thể viết số nguyên vào các ô vuông với điều kiện (i) và (ii).
Ví dụ: hãy xem xét cặp $(2, 2)$.
| 0 | 1 |
|---|---|
| -1 | 0 |
Bằng cách viết các số nguyên như trên, các điều kiện mong muốn thực sự đúng. Vì vậy $(2, 2)$ là một cặp tốt.
(1) Đặt $m = 3$. Tìm tất cả các số nguyên $n \le 10$ sao cho $(m, n)$ là cặp tốt.
(2) Tìm số cặp tốt $(m, n)$ sao cho $2 \le m, n \le 10$. Chúng tôi xem xét các cặp có thứ tự, tức là các cặp $(m, n)$ và $(n, m)$ được coi là khác nhau nếu $n \ne m$.
(i) ít nhất một trong các mục khác 0 và
(ii) đối với mỗi hình vuông $S$, $\sigma(S) = 0$, trong đó $\sigma(S)$ biểu thị tổng của phần tử trong tất cả các hình vuông cạnh $S$ (tức là tất cả các hình vuông có chung một cạnh với $S$).
Ví dụ: hãy để $m = 3$, $n = 4$. Giả sử chúng ta viết $1$ ở tất cả các ô vuông đơn vị.
| 1 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Nếu chúng ta viết $\sigma(S)$ vào mỗi ô vuông, nó sẽ hiển thị
| 2 | 3 | 3 | 2 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 4 | 3 |
| 2 | 3 | 3 | 2 |
và như vậy theo cách này điều kiện (ii) không đúng.
Chúng ta gọi $(m, n)$ là một *cặp tốt* nếu chúng ta có thể viết số nguyên vào các ô vuông với điều kiện (i) và (ii).
Ví dụ: hãy xem xét cặp $(2, 2)$.
| 0 | 1 |
|---|---|
| -1 | 0 |
Bằng cách viết các số nguyên như trên, các điều kiện mong muốn thực sự đúng. Vì vậy $(2, 2)$ là một cặp tốt.
(1) Đặt $m = 3$. Tìm tất cả các số nguyên $n \le 10$ sao cho $(m, n)$ là cặp tốt.
(2) Tìm số cặp tốt $(m, n)$ sao cho $2 \le m, n \le 10$. Chúng tôi xem xét các cặp có thứ tự, tức là các cặp $(m, n)$ và $(n, m)$ được coi là khác nhau nếu $n \ne m$.