MathNet 2005 — Phần 03 Câu hỏi 170

Bạn bắt đầu với một chồng thẻ $3^{2004}$ lớn, có ghi các số $1,2,3, \ldots, 3^{2004}$ trên đó. Bạn sắp xếp các thẻ thành nhóm ba thẻ theo cách bạn muốn; ở mỗi nhóm, bạn giữ lại thẻ có số lớn nhất và loại bỏ hai thẻ còn lại. Bây giờ bạn lại sắp xếp các thẻ $3^{2003}$ còn lại này thành các nhóm ba thẻ theo bất kỳ cách nào bạn thích và trong mỗi nhóm, giữ lại thẻ có số nhỏ nhất và loại bỏ hai thẻ còn lại. Bây giờ bạn có thẻ $3^{2002}$ và bạn lại sắp xếp chúng thành nhóm ba thẻ và giữ số lượng lớn nhất trong mỗi nhóm. Bạn tiến hành theo cách này, xen kẽ giữa việc giữ số lớn nhất và giữ số nhỏ nhất trong mỗi nhóm, cho đến khi bạn chỉ còn lại một thẻ.
Có thể có bao nhiêu giá trị khác nhau cho con số trên tấm thẻ cuối cùng này?