Câu hỏi 173
Điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ và thỏa mãn
$$
\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B .
$$
Chứng minh rằng khi đó
$$
\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B}
$$
Trước hết ta nhận thấy $\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma$. Vì lý do đối xứng, chỉ cần chứng minh một trong hai đẳng thức được khẳng định. (Gợi ý: Với một góc $\varangle X Y Z$ có $0^{\circ}\lt\varangle X Y Z\lt 180^{\circ}$ theo chiều dương toán học, đặt $\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z$. Với quy ước này, chẳng hạn, với bốn điểm đôi một phân biệt $W, X, Y, Z$ trên một đường tròn luôn có $\varangle X Y Z=\varangle X W Z$).
$$
\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B .
$$
Chứng minh rằng khi đó
$$
\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B}
$$
Trước hết ta nhận thấy $\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma$. Vì lý do đối xứng, chỉ cần chứng minh một trong hai đẳng thức được khẳng định. (Gợi ý: Với một góc $\varangle X Y Z$ có $0^{\circ}\lt\varangle X Y Z\lt 180^{\circ}$ theo chiều dương toán học, đặt $\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z$. Với quy ước này, chẳng hạn, với bốn điểm đôi một phân biệt $W, X, Y, Z$ trên một đường tròn luôn có $\varangle X Y Z=\varangle X W Z$).