Câu hỏi 154
Cho $x_1, \dots, x_n$ ($n \ge 2$) là các số thực sao cho
$$
A = \left| \sum_{i=1}^{n} x_i \right| \neq 0
$$
và
$$
B = \max_{1 \le i \lt j \le n} |x_i - x_j| \neq 0.
$$
Chứng minh rằng với mọi $n$ vectơ $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ trên mặt phẳng, tồn tại một hoán vị $(k_1, k_2, \dots, k_n)$ của $(1, 2, \dots, n)$ sao cho
$$
\left| \sum_{i=1}^{n} x_{k_i} \alpha_i \right| \ge \frac{AB}{2A+B} \max_{1 \le i \le n} |\alpha_i|.
$$
$$
A = \left| \sum_{i=1}^{n} x_i \right| \neq 0
$$
và
$$
B = \max_{1 \le i \lt j \le n} |x_i - x_j| \neq 0.
$$
Chứng minh rằng với mọi $n$ vectơ $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ trên mặt phẳng, tồn tại một hoán vị $(k_1, k_2, \dots, k_n)$ của $(1, 2, \dots, n)$ sao cho
$$
\left| \sum_{i=1}^{n} x_{k_i} \alpha_i \right| \ge \frac{AB}{2A+B} \max_{1 \le i \le n} |\alpha_i|.
$$