Câu hỏi 51
Cho $n$ là số tự nhiên sao cho $n = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ với các số tự nhiên $a, b, c$ nào đó. Chứng minh rằng
$$
9 n = (p_{1} a + q_{1} b + r_{1} c)^{2} + (p_{2} a + q_{2} b + r_{2} c)^{2} + (p_{3} a + q_{3} b + r_{3} c)^{2}
$$
trong đó các $p_{j}$, $q_{j}$, $r_{j}$ đều là các số nguyên khác $0$. Hơn nữa, nếu $3$ không chia hết ít nhất một trong các số $a, b, c$, hãy chứng minh rằng $9 n$ có thể biểu diễn dưới dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2}$, trong đó $x, y, z$ là các số tự nhiên và không số nào chia hết cho $3$.
$$
9 n = (p_{1} a + q_{1} b + r_{1} c)^{2} + (p_{2} a + q_{2} b + r_{2} c)^{2} + (p_{3} a + q_{3} b + r_{3} c)^{2}
$$
trong đó các $p_{j}$, $q_{j}$, $r_{j}$ đều là các số nguyên khác $0$. Hơn nữa, nếu $3$ không chia hết ít nhất một trong các số $a, b, c$, hãy chứng minh rằng $9 n$ có thể biểu diễn dưới dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2}$, trong đó $x, y, z$ là các số tự nhiên và không số nào chia hết cho $3$.