Câu hỏi 107
Cho ma trận các phần tử không âm
$$
P = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & x_{19} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & x_{25} & x_{26} & x_{27} & x_{28} & x_{29} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & x_{35} & x_{36} & x_{37} & x_{38} & x_{39} \end{bmatrix}
$$
có các tính chất sau:
(1) Các số trong cùng một hàng đôi một khác nhau;
(2) Tổng các số trong mỗi cột thuộc sáu cột đầu tiên bằng $1$;
(3) $x_{17} = x_{28} = x_{39} = 0$;
(4) $x_{27}, x_{37}, x_{18}, x_{38}, x_{19}, x_{29} \gt 1$.
Giả sử ma trận $S$ gồm ba cột đầu tiên của $P$, tức là
$$
S = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{bmatrix}
$$
có tính chất sau:
(O) Với mỗi cột $[x_{1k} \ x_{2k} \ x_{3k}]$ ($k = 1, 2, ..., 9$) của $P$, tồn tại $i \in \{1, 2, 3\}$ sao cho
$$
x_{ik} \le u_i = \min\{x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}\}. \qquad \textcircled{1}
$$
Chứng minh rằng:
(i) mỗi cột của $S$ chứa ít nhất một trong các số $u_1, u_2, u_3$ (tức là một phần tử bằng giá trị nhỏ nhất của hàng chứa nó trong $S$);
(ii) tồn tại duy nhất $k^* \in \{4, 5, \ldots, 9\}$ sao cho ma trận $S'$ gồm các cột $1$, $2$, $k^*$ của $P$ cũng có tính chất (O).
$$
P = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & x_{19} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & x_{25} & x_{26} & x_{27} & x_{28} & x_{29} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & x_{35} & x_{36} & x_{37} & x_{38} & x_{39} \end{bmatrix}
$$
có các tính chất sau:
(1) Các số trong cùng một hàng đôi một khác nhau;
(2) Tổng các số trong mỗi cột thuộc sáu cột đầu tiên bằng $1$;
(3) $x_{17} = x_{28} = x_{39} = 0$;
(4) $x_{27}, x_{37}, x_{18}, x_{38}, x_{19}, x_{29} \gt 1$.
Giả sử ma trận $S$ gồm ba cột đầu tiên của $P$, tức là
$$
S = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{bmatrix}
$$
có tính chất sau:
(O) Với mỗi cột $[x_{1k} \ x_{2k} \ x_{3k}]$ ($k = 1, 2, ..., 9$) của $P$, tồn tại $i \in \{1, 2, 3\}$ sao cho
$$
x_{ik} \le u_i = \min\{x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}\}. \qquad \textcircled{1}
$$
Chứng minh rằng:
(i) mỗi cột của $S$ chứa ít nhất một trong các số $u_1, u_2, u_3$ (tức là một phần tử bằng giá trị nhỏ nhất của hàng chứa nó trong $S$);
(ii) tồn tại duy nhất $k^* \in \{4, 5, \ldots, 9\}$ sao cho ma trận $S'$ gồm các cột $1$, $2$, $k^*$ của $P$ cũng có tính chất (O).