Câu hỏi 105
Như Hình 1, $ABCD$ là một tứ giác lồi có $\angle B + \angle D \lt 180^\circ$, và $P$ là một điểm di động trên mặt phẳng. Đặt
$$
f(P) = PA \times BC + PD \times CA + PC \times AB.
$$
(1) Chứng minh rằng khi $f(P)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $P$, $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.
(2) Giả sử điểm $E$ nằm trên cung $\widearc{AB}$ của đường tròn ngoại tiếp $O$ của $\triangle ABC$, thỏa mãn
$$
\frac{AE}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{BC}{EC} = \sqrt{3} - 1, \quad \angle ECB = \frac{1}{2} \angle ECA;
$$
hơn nữa $DA$, $DC$ là các tiếp tuyến của $\odot O$, và $AC = \sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(P)$.
Hình 1
$$
f(P) = PA \times BC + PD \times CA + PC \times AB.
$$
(1) Chứng minh rằng khi $f(P)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $P$, $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.
(2) Giả sử điểm $E$ nằm trên cung $\widearc{AB}$ của đường tròn ngoại tiếp $O$ của $\triangle ABC$, thỏa mãn
$$
\frac{AE}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{BC}{EC} = \sqrt{3} - 1, \quad \angle ECB = \frac{1}{2} \angle ECA;
$$
hơn nữa $DA$, $DC$ là các tiếp tuyến của $\odot O$, và $AC = \sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(P)$.
Hình 1