Câu hỏi 140
Cho $m, n$ là các số nguyên dương. Xét một dãy số nguyên dương $a_{1}$, $a_{2}, \ldots, a_{n}$ thỏa mãn $m=a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n} \geq 1$. Với $1 \leq i \leq m$ ta định nghĩa
$$
b_{i}=\#\left\{j \in\{1,2, \ldots, n\}: a_{j} \geq i\right\}
$$
tức là $b_{i}$ là số các số hạng $a_{j}$ của dãy thỏa mãn $a_{j} \geq i$. Với $1 \leq j \leq n$ ta định nghĩa
$$
c_{j}=\#\left\{i \in\{1,2, \ldots, m\}: b_{i} \geq j\right\}
$$
tức là $c_{j}$ là số các số hạng $b_{i}$ thỏa mãn $b_{i} \geq j$.
Ví dụ: ứng với dãy a là 5, 3, 3, 2, 1, 1 thì dãy b là 6, 4, 3, 1, 1 .
a. Chứng minh rằng $a_{j}=c_{j}$ với $1 \leq j \leq n$.
b. Chứng minh rằng với $1 \leq k \leq m$ ta có: $\sum_{i=1}^{k} b_{i}=k \cdot b_{k}+\sum_{j=b_{k}+1}^{n} a_{j}$.
$$
b_{i}=\#\left\{j \in\{1,2, \ldots, n\}: a_{j} \geq i\right\}
$$
tức là $b_{i}$ là số các số hạng $a_{j}$ của dãy thỏa mãn $a_{j} \geq i$. Với $1 \leq j \leq n$ ta định nghĩa
$$
c_{j}=\#\left\{i \in\{1,2, \ldots, m\}: b_{i} \geq j\right\}
$$
tức là $c_{j}$ là số các số hạng $b_{i}$ thỏa mãn $b_{i} \geq j$.
Ví dụ: ứng với dãy a là 5, 3, 3, 2, 1, 1 thì dãy b là 6, 4, 3, 1, 1 .
a. Chứng minh rằng $a_{j}=c_{j}$ với $1 \leq j \leq n$.
b. Chứng minh rằng với $1 \leq k \leq m$ ta có: $\sum_{i=1}^{k} b_{i}=k \cdot b_{k}+\sum_{j=b_{k}+1}^{n} a_{j}$.