Câu hỏi 31
Cho $\alpha$ là số thực lớn hơn $1$. Xác định dãy $(s_n)_{n \ge 1}$ như sau: $s_1 = 1$, $s_2 = \alpha$; nếu $s_1, s_2, s_3, \dots, s_{2^n}$ đã được xác định với $n \ge 1$ nào đó thì $s_{2^n+1}, s_{2^n+2}, \dots, s_{2^{n+1}}$ được xác định bởi $s_j = \alpha s_{j-2^n}$, với $2^n+1 \le j \le 2^{n+1}$. (Như vậy các số hạng đầu là $1, \alpha, \alpha, \alpha^2, \alpha, \alpha^2, \alpha^2, \alpha^3, \dots$) Đặt $c_n = s_1+s_2+s_3+\dots+s_n$. Nếu $n = 2^{e_0} + 2^{e_1} + \dots + 2^{e_k}$, trong đó $e_0 \gt e_1 \gt \dots \gt e_k \ge 0$ là biểu diễn nhị phân của số nguyên dương $n$, hãy chứng minh rằng
$$
c_n = (1 + \alpha)^{e_0} + \alpha(1 + \alpha)^{e_1} + \alpha^2(1 + \alpha)^{e_2} + \dots + \alpha^k(1 + \alpha)^{e_k}.
$$
$$
c_n = (1 + \alpha)^{e_0} + \alpha(1 + \alpha)^{e_1} + \alpha^2(1 + \alpha)^{e_2} + \dots + \alpha^k(1 + \alpha)^{e_k}.
$$