Câu hỏi 171
Cho sáu số phức đôi một khác nhau $z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6$ có các điểm biểu diễn $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ là các điểm liên tiếp trên đường tròn tâm $O(0,0)$, bán kính $r \gt 0$. Nếu $w$ là một nghiệm của phương trình $z^2 + z + 1 = 0$ và
$$
z_1 w^2 + z_3 w + z_5 = 0 \quad (I),
$$
$$
z_2 w^2 + z_4 w + z_6 = 0 \quad (II)
$$
hãy chứng minh rằng: (a) tam giác $A_1A_3A_5$ là tam giác đều, (b)
$$
|z_1 - z_2| + |z_2 - z_3| + |z_3 - z_4| + |z_4 - z_5| + |z_5 - z_6| + |z_6 - z_1| = 3|z_1 - z_4| = 3|z_2 - z_5| = 3|z_3 - z_6|.
$$
$$
z_1 w^2 + z_3 w + z_5 = 0 \quad (I),
$$
$$
z_2 w^2 + z_4 w + z_6 = 0 \quad (II)
$$
hãy chứng minh rằng: (a) tam giác $A_1A_3A_5$ là tam giác đều, (b)
$$
|z_1 - z_2| + |z_2 - z_3| + |z_3 - z_4| + |z_4 - z_5| + |z_5 - z_6| + |z_6 - z_1| = 3|z_1 - z_4| = 3|z_2 - z_5| = 3|z_3 - z_6|.
$$