Câu hỏi 154
Cho các số nguyên dương $a$ và $k$, dãy số $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ được xác định bởi
$a_1 = a$ và $a_{n+1} = a_n + k \cdot \varphi(a_n)$ với $n = 1, 2, \dots,$
trong đó $\varphi(m)$ là tích các chữ số của $m$ trong biểu diễn thập phân (ví dụ $\varphi(413) = 12$, $\varphi(308) = 0$). Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $a$ và $k$ sao cho dãy $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ chứa đúng 2009 số khác nhau.
$a_1 = a$ và $a_{n+1} = a_n + k \cdot \varphi(a_n)$ với $n = 1, 2, \dots,$
trong đó $\varphi(m)$ là tích các chữ số của $m$ trong biểu diễn thập phân (ví dụ $\varphi(413) = 12$, $\varphi(308) = 0$). Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $a$ và $k$ sao cho dãy $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ chứa đúng 2009 số khác nhau.