Câu hỏi 91
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số các tích của các số nguyên lớn hơn $1$ có kết quả không vượt quá $n$, tức là $f(n)$ là số các bộ $k$ phần tử $(a_1, a_2, \dots, a_k)$, trong đó $k$ là một số tự nhiên, $a_i \ge 2$ là số nguyên với mọi $i$ và $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots a_k \le n$ (theo quy ước, tính cả bộ rỗng $0$ phần tử $(\cdot)$ có tích bằng $1$).
Chẳng hạn, $f(1) = 1$ vì có bộ $0$ phần tử $(\cdot)$ và $f(6) = 9$, vì có bộ $0$ phần tử $(\cdot)$, các bộ $1$ phần tử $(2), (3), (4), (5)$ và $(6)$ và các bộ $2$ phần tử $(2, 2), (2, 3)$ và $(3, 2)$.
Cho $\alpha \gt 1$ sao cho $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{\alpha}} = 2$.
a. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $K \gt 0$ sao cho $f(n) \le K \cdot n^{\alpha}$ với mọi số nguyên dương $n$.
b. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c \gt 0$ sao cho $f(n) \ge c \cdot n^{\alpha}$ với mọi số nguyên dương $n$.
Chẳng hạn, $f(1) = 1$ vì có bộ $0$ phần tử $(\cdot)$ và $f(6) = 9$, vì có bộ $0$ phần tử $(\cdot)$, các bộ $1$ phần tử $(2), (3), (4), (5)$ và $(6)$ và các bộ $2$ phần tử $(2, 2), (2, 3)$ và $(3, 2)$.
Cho $\alpha \gt 1$ sao cho $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{\alpha}} = 2$.
a. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $K \gt 0$ sao cho $f(n) \le K \cdot n^{\alpha}$ với mọi số nguyên dương $n$.
b. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c \gt 0$ sao cho $f(n) \ge c \cdot n^{\alpha}$ với mọi số nguyên dương $n$.