Câu hỏi 27
Với mỗi số nguyên $n \geq 2$, ta tính số nguyên $h(n)$ bằng cách áp dụng quy trình sau lên biểu diễn thập phân của nó. Gọi $r$ là chữ số ngoài cùng bên phải của $n$.
(1) Nếu $r=0$, thì biểu diễn thập phân của $h(n)$ nhận được từ biểu diễn thập phân của $n$ bằng cách bỏ chữ số $0$ ngoài cùng bên phải này.
(2) Nếu $1 \leq r \leq 9$, ta tách biểu diễn thập phân của $n$ thành một phần phải $R$ cực đại chỉ gồm các chữ số không nhỏ hơn $r$ và một phần trái $L$ hoặc là rỗng hoặc kết thúc bằng một chữ số nhỏ hơn hẳn $r$. Khi đó biểu diễn thập phân của $h(n)$ gồm biểu diễn thập phân của $L$, tiếp theo là hai bản sao của biểu diễn thập phân của $R-1$. Chẳng hạn, với số $n=17,151,345,543$ ta có $L=17,151$, $R=345,543$ và $h(n)=17,151,345,542,345,542$.
Chứng minh rằng, xuất phát từ một số nguyên $n \geq 2$ bất kỳ, việc áp dụng $h$ lặp đi lặp lại sẽ cho ra số nguyên $1$ sau hữu hạn bước.
(1) Nếu $r=0$, thì biểu diễn thập phân của $h(n)$ nhận được từ biểu diễn thập phân của $n$ bằng cách bỏ chữ số $0$ ngoài cùng bên phải này.
(2) Nếu $1 \leq r \leq 9$, ta tách biểu diễn thập phân của $n$ thành một phần phải $R$ cực đại chỉ gồm các chữ số không nhỏ hơn $r$ và một phần trái $L$ hoặc là rỗng hoặc kết thúc bằng một chữ số nhỏ hơn hẳn $r$. Khi đó biểu diễn thập phân của $h(n)$ gồm biểu diễn thập phân của $L$, tiếp theo là hai bản sao của biểu diễn thập phân của $R-1$. Chẳng hạn, với số $n=17,151,345,543$ ta có $L=17,151$, $R=345,543$ và $h(n)=17,151,345,542,345,542$.
Chứng minh rằng, xuất phát từ một số nguyên $n \geq 2$ bất kỳ, việc áp dụng $h$ lặp đi lặp lại sẽ cho ra số nguyên $1$ sau hữu hạn bước.