Câu hỏi 23
Cho $n$ là một số nguyên dương. Cho dãy $\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}$ với $\varepsilon_{i}=0$ hoặc $\varepsilon_{i}=1$ với mỗi $i=1, \ldots, n-1$, các dãy $a_{0}, \ldots, a_{n}$ và $b_{0}, \ldots, b_{n}$ được xây dựng theo các quy tắc sau:
$$
\begin{gathered}
a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\
a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{i}=0, \\
3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{i}=1,
\end{array}\right. \quad \text{ với mỗi } i=1, \ldots, n-1, \\
b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{n-i}=0, \\
3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{n-i}=1,
\end{array}\right. \text{ với mỗi } i=1, \ldots, n-1
\end{gathered}
$$
Chứng minh rằng $a_{n}=b_{n}$.
$$
\begin{gathered}
a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\
a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{i}=0, \\
3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{i}=1,
\end{array}\right. \quad \text{ với mỗi } i=1, \ldots, n-1, \\
b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{n-i}=0, \\
3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ nếu } \varepsilon_{n-i}=1,
\end{array}\right. \text{ với mỗi } i=1, \ldots, n-1
\end{gathered}
$$
Chứng minh rằng $a_{n}=b_{n}$.