Câu hỏi 77
Von Neumann's Poker: Bước đầu tiên trong trò chơi của Von Neumann là chọn một số ngẫu nhiên trên $[0,1]$. Để tạo ra số này, Chebby dùng hệ cơ số giai thừa: số $0 . A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \ldots$ biểu thị $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_{n}}{(n+1)!}$, trong đó mỗi $A_{n}$ là một số nguyên từ $0$ đến $n$, kể cả hai đầu.
Chebby có vô hạn tấm thẻ được đánh số $\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{2}, \ldots$. Anh ấy bắt đầu bằng cách bỏ hai thẻ $\mathbf{0}$ và $\mathbf{1}$ vào một chiếc mũ và rút ngẫu nhiên để xác định $A_{1}$. Tấm thẻ đã được gán cho $A_{1}$ không được dùng lại. Sau đó Chebby bỏ thêm thẻ $2$ vào và rút để xác định $A_{2}$, và tiếp tục theo cách này để xác định số ngẫu nhiên. Ở mỗi bước, anh ấy chỉ rút một thẻ từ hai thẻ trong mũ.
Đáng tiếc là phương pháp này không cho phân phối đều. Giá trị kỳ vọng của số cuối cùng mà Chebby nhận được là bao nhiêu?
Điểm của bạn cho bài này sẽ là số lớn hơn trong hai số $0$ và $\lfloor 25(1-d)\rfloor$, trong đó $d$ là hiệu dương giữa đáp án của bạn và đáp án đúng.
Chebby có vô hạn tấm thẻ được đánh số $\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{2}, \ldots$. Anh ấy bắt đầu bằng cách bỏ hai thẻ $\mathbf{0}$ và $\mathbf{1}$ vào một chiếc mũ và rút ngẫu nhiên để xác định $A_{1}$. Tấm thẻ đã được gán cho $A_{1}$ không được dùng lại. Sau đó Chebby bỏ thêm thẻ $2$ vào và rút để xác định $A_{2}$, và tiếp tục theo cách này để xác định số ngẫu nhiên. Ở mỗi bước, anh ấy chỉ rút một thẻ từ hai thẻ trong mũ.
Đáng tiếc là phương pháp này không cho phân phối đều. Giá trị kỳ vọng của số cuối cùng mà Chebby nhận được là bao nhiêu?
Điểm của bạn cho bài này sẽ là số lớn hơn trong hai số $0$ và $\lfloor 25(1-d)\rfloor$, trong đó $d$ là hiệu dương giữa đáp án của bạn và đáp án đúng.