Câu hỏi 61
Gọi $S$ là tập số hữu tỉ trong $[0,1]$. Dãy thực vô hạn $\{x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots\}$ được gọi là “vượt sức tưởng tượng” nếu có hàm $H:S\to\mathbb R$ thỏa:
(i) $H$ không giảm trên $[0,1/2]$: với các số hữu tỉ $0\le a\le b\le1/2$, có $H(a)\le H(b)$;
(ii) với các số nguyên $p\gt 0$ và $0\le q\le p$,
$$H(q/p)=\frac{\sum_{k=1}^{q}x_{p+1-k}-\sum_{k=1}^{q}x_k}{p}.$$
Tìm tất cả dãy vượt sức tưởng tượng.
(i) $H$ không giảm trên $[0,1/2]$: với các số hữu tỉ $0\le a\le b\le1/2$, có $H(a)\le H(b)$;
(ii) với các số nguyên $p\gt 0$ và $0\le q\le p$,
$$H(q/p)=\frac{\sum_{k=1}^{q}x_{p+1-k}-\sum_{k=1}^{q}x_k}{p}.$$
Tìm tất cả dãy vượt sức tưởng tượng.