Câu hỏi 83
Một tập các số nguyên liên tiếp được gọi là cân bằng nếu có thể chia thành hai tập con có cùng số phần tử sao cho:
(i) hai tập con không có phần tử chung;
(ii) tổng các phần tử của hai tập con bằng nhau;
(iii) tổng bình phương các phần tử của hai tập con bằng nhau.
Ví dụ, tập $\{7,8,9,10,11,12,13,14\}$ cân bằng vì có thể chia thành $\{7,10,12,13\}$ và $\{8,9,11,14\}$, và
$$\begin{aligned}
7+10+12+13&=8+9+11+14,\\
7^2+10^2+12^2+13^2&=8^2+9^2+11^2+14^2.
\end{aligned}$$
a) Kiểm tra tập $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ cân bằng.
b) Chứng minh mọi tập gồm tám số nguyên liên tiếp đều cân bằng.
c) Chứng minh không tập nào gồm bốn số nguyên liên tiếp cân bằng.
(i) hai tập con không có phần tử chung;
(ii) tổng các phần tử của hai tập con bằng nhau;
(iii) tổng bình phương các phần tử của hai tập con bằng nhau.
Ví dụ, tập $\{7,8,9,10,11,12,13,14\}$ cân bằng vì có thể chia thành $\{7,10,12,13\}$ và $\{8,9,11,14\}$, và
$$\begin{aligned}
7+10+12+13&=8+9+11+14,\\
7^2+10^2+12^2+13^2&=8^2+9^2+11^2+14^2.
\end{aligned}$$
a) Kiểm tra tập $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ cân bằng.
b) Chứng minh mọi tập gồm tám số nguyên liên tiếp đều cân bằng.
c) Chứng minh không tập nào gồm bốn số nguyên liên tiếp cân bằng.