Câu hỏi 24
a) Cho hàm khả vi và lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$. Chứng minh nếu $f(x)\le x$ với mọi $x\ge0$ thì $f'(x)\le1$ với mọi $x\ge0$.
b) Tìm các hàm khả vi và lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ sao cho $f(0)=0$ và $f'(x)f(f(x))=x$ với mọi $x\ge0$.
Đề bài (nguồn lặp lại đề bằng tiếng Hungary):
a) Hàm $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ khả vi và lồi. Chứng minh nếu $f(x)\le x$ với mọi $x\ge0$ thì $f'(x)\le1$ với mọi $x\ge0$.
b) Tìm tất cả các hàm khả vi và lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ thỏa $f(0)=0$ và $f'(x)f(f(x))=x$ với mọi $x\ge0$.
b) Tìm các hàm khả vi và lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ sao cho $f(0)=0$ và $f'(x)f(f(x))=x$ với mọi $x\ge0$.
Đề bài (nguồn lặp lại đề bằng tiếng Hungary):
a) Hàm $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ khả vi và lồi. Chứng minh nếu $f(x)\le x$ với mọi $x\ge0$ thì $f'(x)\le1$ với mọi $x\ge0$.
b) Tìm tất cả các hàm khả vi và lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ thỏa $f(0)=0$ và $f'(x)f(f(x))=x$ với mọi $x\ge0$.