Câu hỏi 92
Cho tập $X$ và hàm $f:X\to X$, kí hiệu $f^{-1}(x)=f(x)$ với mỗi $x\in X$, và $f^{j+1}(x)=f(f^j(x))$ với mỗi $j\ge1$. Điểm $a\in X$ là điểm bất động nếu $f(a)=a$. Với số thực $x$, gọi $\pi(x)$ là số lượng số nguyên tố dương không vượt quá $x$. Với số nguyên dương $n$, gọi $f:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ là catracha nếu $f^{f^k}(k)=k$ với mọi $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Chứng minh:
a) Nếu $f$ là catracha thì có ít nhất $\pi(n)-\pi(\sqrt n)+1$ điểm bất động.
b) Nếu $n\ge36$, tồn tại hàm catracha có đúng $\pi(n)-\pi(\sqrt n)+1$ điểm bất động.
a) Nếu $f$ là catracha thì có ít nhất $\pi(n)-\pi(\sqrt n)+1$ điểm bất động.
b) Nếu $n\ge36$, tồn tại hàm catracha có đúng $\pi(n)-\pi(\sqrt n)+1$ điểm bất động.