Câu hỏi 48
Cho $f$ là đa thức nguyên thủy với hệ số nguyên (ước chung lớn nhất của các hệ số bằng $1$), sao cho $f$ bất khả quy trong $\mathbb{Q}[X]$ và $f(X^2)$ khả quy trong $\mathbb{Q}[X]$. Chứng minh rằng $f = \pm(u^2 - Xv^2)$ với một số đa thức $u$ và $v$ có hệ số nguyên.
Chẳng hạn, nếu $a$ và $b$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau và $a$ lẻ, thì $f = a^4 X^2 + 4b^4$ là đa thức nguyên thủy trong $\mathbb{Z}[X]$, bất khả quy trong $\mathbb{R}[X] \supset \mathbb{Q}[X]$; $f(X^2) = a^4 X^4 + 4b^4 = (a^2 X^2 - 2abX + 2b^2)(a^2 X^2 + 2abX + 2b^2)$ khả quy trong $\mathbb{Z}[X] \subset \mathbb{Q}[X]$, và $f = (a^2 X + 2b^2)^2 - X \cdot (2ab)^2$.
Chẳng hạn, nếu $a$ và $b$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau và $a$ lẻ, thì $f = a^4 X^2 + 4b^4$ là đa thức nguyên thủy trong $\mathbb{Z}[X]$, bất khả quy trong $\mathbb{R}[X] \supset \mathbb{Q}[X]$; $f(X^2) = a^4 X^4 + 4b^4 = (a^2 X^2 - 2abX + 2b^2)(a^2 X^2 + 2abX + 2b^2)$ khả quy trong $\mathbb{Z}[X] \subset \mathbb{Q}[X]$, và $f = (a^2 X + 2b^2)^2 - X \cdot (2ab)^2$.