Câu hỏi 23
Cho ba đường tròn $k_1,k_2,k_3$ có tâm lần lượt là $O_1,O_2,O_3$, sao cho không tâm nào nằm trong một trong hai đường tròn còn lại. Hai đường tròn $k_1,k_2$ cắt nhau tại $A,P$; $k_1,k_3$ cắt nhau tại $C,P$; và $k_2,k_3$ cắt nhau tại $B,P$. Lấy điểm $X$ trên $k_1$ sao cho giao điểm của đường thẳng $XA$ với $k_2$ là $Y$, giao điểm của đường thẳng $XC$ với $k_3$ là $Z$, đồng thời $Y$ không nằm trong $k_1$ hoặc $k_3$ và $Z$ không nằm trong $k_1$ hoặc $k_2$.
a) Chứng minh hai tam giác $XYZ$ và $O_1O_2O_3$ đồng dạng.
b) Chứng minh diện tích tam giác $XYZ$ không lớn hơn bốn lần diện tích tam giác $O_1O_2O_3$. Giá trị lớn nhất có đạt được không?
Bản tiếng Macedonia trong nguồn, dịch đầy đủ:
Cho ba đường tròn $k_1,k_2,k_3$ có tâm lần lượt là $O_1,O_2,O_3$, sao cho không tâm nào nằm trong một trong hai đường tròn còn lại. Hai đường tròn $k_1,k_2$ cắt nhau tại $A,P$; $k_1,k_3$ cắt nhau tại $C,P$; và $k_2,k_3$ cắt nhau tại $B,P$. Lấy điểm $X$ trên $k_1$ sao cho giao điểm của đường thẳng $XA$ với $k_2$ là $Y$, giao điểm của đường thẳng $XC$ với $k_3$ là $Z$, đồng thời $Y$ không nằm trong $k_1$ hoặc $k_3$ và $Z$ không nằm trong $k_1$ hoặc $k_2$.
a) Chứng minh hai tam giác $XYZ$ và $O_1O_2O_3$ đồng dạng.
b) Chứng minh diện tích tam giác $XYZ$ không lớn hơn bốn lần diện tích tam giác $O_1O_2O_3$. Giá trị lớn nhất có đạt được không?
a) Chứng minh hai tam giác $XYZ$ và $O_1O_2O_3$ đồng dạng.
b) Chứng minh diện tích tam giác $XYZ$ không lớn hơn bốn lần diện tích tam giác $O_1O_2O_3$. Giá trị lớn nhất có đạt được không?
Bản tiếng Macedonia trong nguồn, dịch đầy đủ:
Cho ba đường tròn $k_1,k_2,k_3$ có tâm lần lượt là $O_1,O_2,O_3$, sao cho không tâm nào nằm trong một trong hai đường tròn còn lại. Hai đường tròn $k_1,k_2$ cắt nhau tại $A,P$; $k_1,k_3$ cắt nhau tại $C,P$; và $k_2,k_3$ cắt nhau tại $B,P$. Lấy điểm $X$ trên $k_1$ sao cho giao điểm của đường thẳng $XA$ với $k_2$ là $Y$, giao điểm của đường thẳng $XC$ với $k_3$ là $Z$, đồng thời $Y$ không nằm trong $k_1$ hoặc $k_3$ và $Z$ không nằm trong $k_1$ hoặc $k_2$.
a) Chứng minh hai tam giác $XYZ$ và $O_1O_2O_3$ đồng dạng.
b) Chứng minh diện tích tam giác $XYZ$ không lớn hơn bốn lần diện tích tam giác $O_1O_2O_3$. Giá trị lớn nhất có đạt được không?