Câu hỏi 95
Phương trình $P(x)=Q(y)$ được gọi là **thú vị** nếu $P,Q$ đều là các đa thức hệ số nguyên có bậc ít nhất bằng một và phương trình có vô số nghiệm là các số tự nhiên. Ta nói phương trình $F(x)=G(y)$ **được suy ra** từ phương trình $P(x)=Q(y)$ nếu tồn tại đa thức $R$ hệ số hữu tỉ sao cho $F(x)=R(P(x))$ và $G(y)=R(Q(y))$.
a) Cho $S$ là một tập con vô hạn của $N\times N$. Ta nói $S$ **thỏa mãn** phương trình thú vị $P(x)=Q(y)$ nếu mỗi phần tử của $S$ thỏa mãn phương trình ấy. Chứng minh rằng tồn tại phương trình thú vị $P_o(x)=Q_o(y)$ sao cho mọi phương trình được $S$ thỏa mãn (nếu có) đều được suy ra từ phương trình $P_o(x)=Q_o(y)$.
b) Bậc của phương trình thú vị được định nghĩa là số lớn hơn trong hai bậc của $P,Q$. Ta gọi phương trình thú vị là **nguyên thủy** nếu nó không được suy ra từ phương trình thú vị nào có bậc nhỏ hơn. Chứng minh rằng nếu $P(x)=Q(y)$ là phương trình thú vị nguyên thủy và cả $P,Q$ là các đa thức monadic, thì bậc của $P,Q$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.
a) Cho $S$ là một tập con vô hạn của $N\times N$. Ta nói $S$ **thỏa mãn** phương trình thú vị $P(x)=Q(y)$ nếu mỗi phần tử của $S$ thỏa mãn phương trình ấy. Chứng minh rằng tồn tại phương trình thú vị $P_o(x)=Q_o(y)$ sao cho mọi phương trình được $S$ thỏa mãn (nếu có) đều được suy ra từ phương trình $P_o(x)=Q_o(y)$.
b) Bậc của phương trình thú vị được định nghĩa là số lớn hơn trong hai bậc của $P,Q$. Ta gọi phương trình thú vị là **nguyên thủy** nếu nó không được suy ra từ phương trình thú vị nào có bậc nhỏ hơn. Chứng minh rằng nếu $P(x)=Q(y)$ là phương trình thú vị nguyên thủy và cả $P,Q$ là các đa thức monadic, thì bậc của $P,Q$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.