Câu hỏi 53
Một đa giác đơn $A$ có chu vi $p$ được gọi là **đa giác tròn trịa** nếu với mỗi hai điểm $x,y$ trên biên $A$ có khoảng cách trong mặt phẳng không vượt quá $1$, khoảng cách của chúng trên $A$ (tức độ dài phần ngắn hơn của biên $A$ nằm giữa chúng) không vượt quá $\frac p4$. Ta muốn chứng minh rằng có thể vẽ một hình tròn bán kính $\frac14$ nằm hoàn toàn trong một đa giác tròn trịa.
Các nhà thông thái trên Trái Đất và các nhà nghiên cứu của hành tinh **Hot Dog**! đã nghĩ ra hai hướng giải hoàn toàn khác nhau. Trong cả hai hướng, một **dây cung** là đoạn thẳng có hai đầu mút nằm trên biên đa giác. Một **đường kính** là dây cung có hai đầu mút là các đỉnh của đa giác. Một **dây cung trong** là dây cung nằm hoàn toàn bên trong hoặc trên biên đa giác. **Khoảng cách trên biên** giữa hai điểm của đa giác được định nghĩa là độ dài phần ngắn hơn của biên nằm giữa chúng.
### Hướng Trái Đất: dây cung cực đại
Ta biết rằng với mỗi đa giác, có một dây cung trong $xy$ dài không quá một sao cho với mọi dây cung trong $x'y'$ dài không quá một, khoảng cách trên biên giữa $x,y$ lớn hơn hoặc bằng khoảng cách trên biên giữa $x',y'$. Dây này được gọi là **dây cung cực đại**. Trong một đa giác tròn trịa $A_o$, dây cung cực đại có hai khả năng:
a) **Khả năng thứ nhất:** Dây cung cực đại dài bằng một. Chứng minh rằng khi đó một nửa hình tròn có đường kính là dây cung cực đại có thể nằm hoàn toàn trong $A_o$; do đó có thể vẽ một hình tròn bán kính $\frac14$ nằm hoàn toàn trong đa giác.
b) **Khả năng thứ hai:** Dây cung cực đại dài nhỏ hơn một. Chứng minh rằng trong trường hợp này vẫn có thể tìm một hình tròn bán kính $\frac14$ nằm hoàn toàn trong $A_o$.
Các nhà thông thái Trái Đất nhiều lần tưởng rằng đã giải được bài toán, nhưng mỗi lần lại phát hiện một lỗi nhỏ trong chứng minh, cho đến khi cuối cùng họ giải được.
### Hướng Hot Dog: tam giác hóa
Xét hai khẳng định sau:
**Khẳng định thứ nhất:** “Với mọi đa giác có các cạnh dài không quá một và không chứa được hình tròn bán kính $1/4$ hoàn toàn bên trong, có thể tam giác hóa nó bằng các đường kính dài không quá một.”
**Khẳng định thứ hai:** “Với mọi đa giác không chứa được hình tròn bán kính $1/4$ hoàn toàn bên trong, có thể tam giác hóa nó bằng các dây cung dài không quá một.”
Các nhà nghiên cứu Hot Dog chứng minh được rằng nếu khẳng định thứ hai đúng thì có thể vẽ hình tròn bán kính $1/4$ nằm hoàn toàn trong một đa giác tròn trịa.
c) Chứng minh rằng nếu khẳng định thứ hai đúng thì có thể vẽ hình tròn bán kính $1/4$ nằm hoàn toàn trong một đa giác tròn trịa.
Họ dễ dàng suy ra rằng nếu khẳng định thứ nhất đúng thì khẳng định thứ hai cũng đúng. Vì vậy họ tuyên bố sẽ thưởng một ngôi nhà đầy Hot Dog cho bất kỳ ai chứng minh được khẳng định thứ nhất! Sau một thời gian, một thợ cắt tóc trẻ tên J.N, tự nhận mình đến từ Trái Đất, đã bác bỏ được khẳng định thứ nhất và được thưởng ngôi nhà như đã hứa.
d) Dựng một đa giác $1392$ đỉnh bác bỏ khẳng định thứ nhất.
Dù vậy, các nhà nghiên cứu Hot Dog vẫn hy vọng chứng minh trực tiếp khẳng định thứ hai.
e) Viết bất cứ điều gì bạn nghĩ có thể đúng về khẳng định thứ hai.
Các nhà thông thái trên Trái Đất và các nhà nghiên cứu của hành tinh **Hot Dog**! đã nghĩ ra hai hướng giải hoàn toàn khác nhau. Trong cả hai hướng, một **dây cung** là đoạn thẳng có hai đầu mút nằm trên biên đa giác. Một **đường kính** là dây cung có hai đầu mút là các đỉnh của đa giác. Một **dây cung trong** là dây cung nằm hoàn toàn bên trong hoặc trên biên đa giác. **Khoảng cách trên biên** giữa hai điểm của đa giác được định nghĩa là độ dài phần ngắn hơn của biên nằm giữa chúng.
### Hướng Trái Đất: dây cung cực đại
Ta biết rằng với mỗi đa giác, có một dây cung trong $xy$ dài không quá một sao cho với mọi dây cung trong $x'y'$ dài không quá một, khoảng cách trên biên giữa $x,y$ lớn hơn hoặc bằng khoảng cách trên biên giữa $x',y'$. Dây này được gọi là **dây cung cực đại**. Trong một đa giác tròn trịa $A_o$, dây cung cực đại có hai khả năng:
a) **Khả năng thứ nhất:** Dây cung cực đại dài bằng một. Chứng minh rằng khi đó một nửa hình tròn có đường kính là dây cung cực đại có thể nằm hoàn toàn trong $A_o$; do đó có thể vẽ một hình tròn bán kính $\frac14$ nằm hoàn toàn trong đa giác.
b) **Khả năng thứ hai:** Dây cung cực đại dài nhỏ hơn một. Chứng minh rằng trong trường hợp này vẫn có thể tìm một hình tròn bán kính $\frac14$ nằm hoàn toàn trong $A_o$.
Các nhà thông thái Trái Đất nhiều lần tưởng rằng đã giải được bài toán, nhưng mỗi lần lại phát hiện một lỗi nhỏ trong chứng minh, cho đến khi cuối cùng họ giải được.
### Hướng Hot Dog: tam giác hóa
Xét hai khẳng định sau:
**Khẳng định thứ nhất:** “Với mọi đa giác có các cạnh dài không quá một và không chứa được hình tròn bán kính $1/4$ hoàn toàn bên trong, có thể tam giác hóa nó bằng các đường kính dài không quá một.”
**Khẳng định thứ hai:** “Với mọi đa giác không chứa được hình tròn bán kính $1/4$ hoàn toàn bên trong, có thể tam giác hóa nó bằng các dây cung dài không quá một.”
Các nhà nghiên cứu Hot Dog chứng minh được rằng nếu khẳng định thứ hai đúng thì có thể vẽ hình tròn bán kính $1/4$ nằm hoàn toàn trong một đa giác tròn trịa.
c) Chứng minh rằng nếu khẳng định thứ hai đúng thì có thể vẽ hình tròn bán kính $1/4$ nằm hoàn toàn trong một đa giác tròn trịa.
Họ dễ dàng suy ra rằng nếu khẳng định thứ nhất đúng thì khẳng định thứ hai cũng đúng. Vì vậy họ tuyên bố sẽ thưởng một ngôi nhà đầy Hot Dog cho bất kỳ ai chứng minh được khẳng định thứ nhất! Sau một thời gian, một thợ cắt tóc trẻ tên J.N, tự nhận mình đến từ Trái Đất, đã bác bỏ được khẳng định thứ nhất và được thưởng ngôi nhà như đã hứa.
d) Dựng một đa giác $1392$ đỉnh bác bỏ khẳng định thứ nhất.
Dù vậy, các nhà nghiên cứu Hot Dog vẫn hy vọng chứng minh trực tiếp khẳng định thứ hai.
e) Viết bất cứ điều gì bạn nghĩ có thể đúng về khẳng định thứ hai.