Câu hỏi 36
Một **tổng riêng** của $n$ số thực $a_1, a_2, ..., a_n$ là tổng của một số số trong chúng; tức là $\epsilon_1 a_1 + \epsilon_2 a_2 + ... + \epsilon_n a_n$, trong đó với mỗi $1 \le i \le n$, $\epsilon_i$ bằng 0 hoặc 1 và ít nhất một hệ số khác không. Bây giờ, biết các tổng riêng này, ta muốn tìm các số ban đầu.
Nhiều năm trước, một danh sách quý giá gồm $n$ số thực (không nhất thiết phân biệt) cùng tất cả $2^n - 1$ tổng riêng của chúng được trưng bày cho công chúng trong một bảo tàng. Một số sinh vật kỳ lạ từ hành tinh Hot Dog (sau khi chịu thua bài toán Rotund Polygon!) đã lấy cắp $n$ số ban đầu của chúng ta; thứ duy nhất còn lại là $2^n - 1$ tổng riêng đó.
a) Chứng minh rằng nếu mọi tổng riêng đều dương thì có thể xác định duy nhất tất cả các số bị lấy cắp.
b) Giả sử một số tổng riêng dương và một số âm, nhưng không tổng nào bằng không. Chứng minh rằng vẫn có thể xác định duy nhất tất cả các số bị lấy cắp.
c) Chứng minh rằng với $n = 1392$, có thể xây dựng một ví dụ cho thấy chỉ biết $2^n - 1$ tổng riêng thì không thể xác định duy nhất tất cả các số bị lấy cắp.
Nhiều năm trước, một danh sách quý giá gồm $n$ số thực (không nhất thiết phân biệt) cùng tất cả $2^n - 1$ tổng riêng của chúng được trưng bày cho công chúng trong một bảo tàng. Một số sinh vật kỳ lạ từ hành tinh Hot Dog (sau khi chịu thua bài toán Rotund Polygon!) đã lấy cắp $n$ số ban đầu của chúng ta; thứ duy nhất còn lại là $2^n - 1$ tổng riêng đó.
a) Chứng minh rằng nếu mọi tổng riêng đều dương thì có thể xác định duy nhất tất cả các số bị lấy cắp.
b) Giả sử một số tổng riêng dương và một số âm, nhưng không tổng nào bằng không. Chứng minh rằng vẫn có thể xác định duy nhất tất cả các số bị lấy cắp.
c) Chứng minh rằng với $n = 1392$, có thể xây dựng một ví dụ cho thấy chỉ biết $2^n - 1$ tổng riêng thì không thể xác định duy nhất tất cả các số bị lấy cắp.