Câu hỏi 25
**Khoảng cách** giữa hai đường tròn $\omega$ và $\omega'$ được định nghĩa là độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài của chúng và được ký hiệu là $d(\omega, \omega')$. Nếu hai đường tròn không có tiếp tuyến chung ngoài thì khoảng cách giữa chúng không được xác định. Chú ý rằng một điểm là một đường tròn bán kính bằng không, và khoảng cách giữa hai đường tròn có thể bằng không.
a) **Trọng tâm.** Cho các đường tròn $\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n$ trong mặt phẳng, với $n$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đường tròn $\bar{\omega}$ sao cho với đường tròn $\omega$ tùy ý trong mặt phẳng, hiệu giữa bình phương khoảng cách từ $\omega$ đến $\bar{\omega}$ và trung bình các bình phương khoảng cách từ $\omega$ đến $\omega_i$ ($1 \le i \le n$) là một hằng số (xét những đường tròn $\omega$ mà tất cả các khoảng cách này đều được xác định). Tức là,
$$
\forall \omega : d(\omega, \bar{\omega})^2 - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} d(\omega, \omega_i)^2 = \text{hằng số.}
$$
$\bar{\omega}$ được gọi là **trọng tâm** của các đường tròn này, tương tự như trọng tâm của $n$ điểm trong mặt phẳng.
b) **Đường trung trực.** Giả sử đường tròn $\omega$ cách đều các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$. Gọi $\omega_3$ là một đường tròn tùy ý có tâm nằm trên đường nối tâm của $\omega_1$ và $\omega_2$, đồng thời tiếp xúc với tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_1$ và $\omega_2$. Chứng minh rằng “khoảng cách từ $\omega$ đến trọng tâm của $\omega_1$ và $\omega_2$” không lớn hơn “khoảng cách từ $\omega$ đến $\omega_3$” (trong trường hợp mọi khoảng cách này đều được xác định).
c) **Tâm ngoại tiếp.** Gọi $C$ là tập hợp tất cả các đường tròn trong mặt phẳng mà mỗi đường tròn cách đều ba đường tròn cố định $\omega_1, \omega_2$ và $\omega_3$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định trong mặt phẳng là tâm vị tự ngoài của mỗi cặp đường tròn trong $C$.
d) **Tứ diện đều.** Có tồn tại bốn đường tròn trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai đường tròn bất kỳ đều bằng một hay không?
150 phút (→ tr.34)
a) **Trọng tâm.** Cho các đường tròn $\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n$ trong mặt phẳng, với $n$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đường tròn $\bar{\omega}$ sao cho với đường tròn $\omega$ tùy ý trong mặt phẳng, hiệu giữa bình phương khoảng cách từ $\omega$ đến $\bar{\omega}$ và trung bình các bình phương khoảng cách từ $\omega$ đến $\omega_i$ ($1 \le i \le n$) là một hằng số (xét những đường tròn $\omega$ mà tất cả các khoảng cách này đều được xác định). Tức là,
$$
\forall \omega : d(\omega, \bar{\omega})^2 - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} d(\omega, \omega_i)^2 = \text{hằng số.}
$$
$\bar{\omega}$ được gọi là **trọng tâm** của các đường tròn này, tương tự như trọng tâm của $n$ điểm trong mặt phẳng.
b) **Đường trung trực.** Giả sử đường tròn $\omega$ cách đều các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$. Gọi $\omega_3$ là một đường tròn tùy ý có tâm nằm trên đường nối tâm của $\omega_1$ và $\omega_2$, đồng thời tiếp xúc với tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_1$ và $\omega_2$. Chứng minh rằng “khoảng cách từ $\omega$ đến trọng tâm của $\omega_1$ và $\omega_2$” không lớn hơn “khoảng cách từ $\omega$ đến $\omega_3$” (trong trường hợp mọi khoảng cách này đều được xác định).
c) **Tâm ngoại tiếp.** Gọi $C$ là tập hợp tất cả các đường tròn trong mặt phẳng mà mỗi đường tròn cách đều ba đường tròn cố định $\omega_1, \omega_2$ và $\omega_3$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định trong mặt phẳng là tâm vị tự ngoài của mỗi cặp đường tròn trong $C$.
d) **Tứ diện đều.** Có tồn tại bốn đường tròn trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai đường tròn bất kỳ đều bằng một hay không?
150 phút (→ tr.34)