Câu hỏi 25
Một hàm $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ được gọi là co nếu với mọi $x,y\in(0,\infty)$,
$$\lim_{n\to\infty}(f^n(x)-f^n(y))=0,$$
trong đó $f^n=f\circ f\circ\cdots\circ f$ là hợp của $n$ bản sao của $f$. Chứng minh:
a) Nếu $f$ co, liên tục và có điểm bất động $x_0\in(0,\infty)$, tức $f(x_0)=x_0$, thì $f(x)\gt x$ với $x\in(0,x_0)$ và $f(x)\lt x$ với mọi $x\in(x_0,\infty)$.
b) Hàm $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ xác định bởi $f(x)=x+1/x$ là co nhưng không có điểm bất động.
$$\lim_{n\to\infty}(f^n(x)-f^n(y))=0,$$
trong đó $f^n=f\circ f\circ\cdots\circ f$ là hợp của $n$ bản sao của $f$. Chứng minh:
a) Nếu $f$ co, liên tục và có điểm bất động $x_0\in(0,\infty)$, tức $f(x_0)=x_0$, thì $f(x)\gt x$ với $x\in(0,x_0)$ và $f(x)\lt x$ với mọi $x\in(x_0,\infty)$.
b) Hàm $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ xác định bởi $f(x)=x+1/x$ là co nhưng không có điểm bất động.