Câu hỏi 79
Trên bảng $5\times5$, đặt các số $1,2,3,\ldots,25$ sao cho mỗi ô chứa đúng một số và hai số liên tiếp luôn ở hai ô kề nhau. Bảng sau là một ví dụ.
| 3 | 4 | 5 | 24 | 23 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | 1 | 6 | 25 | 22 |
| 9 | 8 | 7 | 20 | 21 |
| 10 | 13 | 14 | 19 | 18 |
| 11 | 12 | 15 | 16 | 17 |
(a) Chứng minh trong mọi cách đặt thỏa điều kiện, tất cả các số ở hai đường chéo đều lẻ.
Gọi đường chéo được tô trắng trong hình sau là đường chéo chính.
Đường chéo chính chia bảng thành hai miền, một phía trên và một phía dưới.
(b) Cho $x,y\in\{1,2,\ldots,25\}$, $x\lt y$. Chứng minh nếu $x,y$ ở hai miền khác nhau thì có một số $z$ trên đường chéo chính sao cho $x\le z\le y$.
(c) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng các số trên đường chéo chính trong các cách đặt thỏa điều kiện đề bài.
| 3 | 4 | 5 | 24 | 23 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | 1 | 6 | 25 | 22 |
| 9 | 8 | 7 | 20 | 21 |
| 10 | 13 | 14 | 19 | 18 |
| 11 | 12 | 15 | 16 | 17 |
(a) Chứng minh trong mọi cách đặt thỏa điều kiện, tất cả các số ở hai đường chéo đều lẻ.
Gọi đường chéo được tô trắng trong hình sau là đường chéo chính.
Đường chéo chính chia bảng thành hai miền, một phía trên và một phía dưới.
(b) Cho $x,y\in\{1,2,\ldots,25\}$, $x\lt y$. Chứng minh nếu $x,y$ ở hai miền khác nhau thì có một số $z$ trên đường chéo chính sao cho $x\le z\le y$.
(c) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng các số trên đường chéo chính trong các cách đặt thỏa điều kiện đề bài.