MathNet 2013 Câu hỏi 53

Trong bảng có $n$ hàng và $2n$ cột, với $n$ là số nguyên dương cố định, điền0 hoặc1 vào mỗi ô sao cho mỗi hàng có $n$ số0 và $n$ số1. Với $1\le k\le n$, $1\le i\le n$, đặt $a_{k,i}$ sao cho số0 thứ $i$ của hàng $k$ nằm ở cột $a_{k,i}$. Gọi $\mathcal F$ là tập các bảng như vậy thỏa $a_{1,i}\ge a_{2,i}\ge\cdots\ge a_{n,i}$ với mọi $i$. Từ $C\in\mathcal F$, lập bảng $f(C)$ kích thước $n\times2n$: trong hàng $k$, điền $n$ số1 ở các cột $a_{n,k}-k+1,a_{n-1,k}-k+2,\ldots,a_{1,k}-k+n$, và điền0 vào các ô còn lại.
a. Chứng minh $f(C)\in\mathcal F$.
b. Chứng minh $f(f(f(f(f(C)))))=C$ với mọi $C\in\mathcal F$.