Câu hỏi 75
Với số nguyên dương chẵn n, Kevin có một dải băng dài 4 n đánh dấu tại −2 n,−2 n+1,…,2 n−1,2 n. Bạn chọn ngẫu nhiên n điểm trong tập −n,−n+1,…,n−1,n rồi đặt một viên đá tại mỗi điểm. Một viên đá gọi là “kẹt” nếu ở 2 n hoặc−2 n, hoặc mọi điểm ở bên phải nó đều có đá, hoặc mọi điểm ở bên trái nó đều có đá. Sau đó, mỗi phút Kevin dịch chuyển những viên chưa kẹt như sau:
- Chọn đều ngẫu nhiên một viên chưa kẹt rồi tung đồng xu công bằng.
- Nếu ngửa, dịch viên đó và mọi viên trong khối liên tiếp lớn nhất chứa nó sang trái một điểm. Nếu sấp, dịch cả khối sang phải một điểm.
- Lặp lại đến khi tất cả các viên đều kẹt.
Gọi pₖ là xác suất cuối quá trình có đúng k viên ở nửa bên phải. Tính theo n:
$$\frac{p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-3}-\cdots+p_3-p_2+p_1}{p_{n-1}+p_{n-2}+p_{n-3}+\cdots+p_3+p_2+p_1}.$$
- Chọn đều ngẫu nhiên một viên chưa kẹt rồi tung đồng xu công bằng.
- Nếu ngửa, dịch viên đó và mọi viên trong khối liên tiếp lớn nhất chứa nó sang trái một điểm. Nếu sấp, dịch cả khối sang phải một điểm.
- Lặp lại đến khi tất cả các viên đều kẹt.
Gọi pₖ là xác suất cuối quá trình có đúng k viên ở nửa bên phải. Tính theo n:
$$\frac{p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-3}-\cdots+p_3-p_2+p_1}{p_{n-1}+p_{n-2}+p_{n-3}+\cdots+p_3+p_2+p_1}.$$