Câu hỏi 67
Cho $\nu$ là số vô tỉ dương và $m$ là số nguyên dương. Một cặp số nguyên dương $(a,b)$ được gọi là tốt nếu
$$a\lceil b\nu\rceil-b\lfloor a\nu\rfloor=m.$$
Một cặp tốt $(a,b)$ được gọi là xuất sắc nếu cả hai cặp $(a-b,b)$ và $(a,b-a)$ đều không tốt. (Như thường lệ, $\lfloor x\rfloor$ và $\lceil x\rceil$ là các số nguyên thỏa $x-1\lt \lfloor x\rfloor\leqslant x$ và $x\leqslant\lceil x\rceil\lt x+1$.) Chứng minh số cặp xuất sắc bằng tổng các ước dương của $m$.
$$a\lceil b\nu\rceil-b\lfloor a\nu\rfloor=m.$$
Một cặp tốt $(a,b)$ được gọi là xuất sắc nếu cả hai cặp $(a-b,b)$ và $(a,b-a)$ đều không tốt. (Như thường lệ, $\lfloor x\rfloor$ và $\lceil x\rceil$ là các số nguyên thỏa $x-1\lt \lfloor x\rfloor\leqslant x$ và $x\leqslant\lceil x\rceil\lt x+1$.) Chứng minh số cặp xuất sắc bằng tổng các ước dương của $m$.