Câu hỏi 42
a.
Cho tập hữu hạn $X$ gồm các điểm trên mặt phẳng. Gọi $f_X(n)$ là diện tích lớn nhất có thể của một đa giác có nhiều nhất $n$ đỉnh, tất cả đều thuộc $X$. Chứng minh rằng nếu $m,n$ là các số nguyên với $m\ge n\gt 2$, thì
$$f_X(m)+f_X(n)\ge f_X(m+1)+f_X(n-1).$$
b.
Cho $P_0$ là hình chữ nhật 1×2 (kể cả miền trong). Định nghĩa quy nạp đa giác $P_i$ là kết quả gấp $P_{i-1}$ qua một đường thẳng cắt $P_{i-1}$ thành hai phần liên thông. Đường kính của $P_i$ là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của $P_i$. Tìm đường kính nhỏ nhất có thể của $P_{2013}$.
(Nói cách khác, với đa giác $P_{i-1}$, một lần gấp gồm đường thẳng $l$ chia $P_{i-1}$ thành hai phần liên thông $A,B$, rồi lấy $P_i=A\cup B_l$, trong đó $B_l$ là ảnh đối xứng của $B$ qua $l$.)
Cho tập hữu hạn $X$ gồm các điểm trên mặt phẳng. Gọi $f_X(n)$ là diện tích lớn nhất có thể của một đa giác có nhiều nhất $n$ đỉnh, tất cả đều thuộc $X$. Chứng minh rằng nếu $m,n$ là các số nguyên với $m\ge n\gt 2$, thì
$$f_X(m)+f_X(n)\ge f_X(m+1)+f_X(n-1).$$
b.
Cho $P_0$ là hình chữ nhật 1×2 (kể cả miền trong). Định nghĩa quy nạp đa giác $P_i$ là kết quả gấp $P_{i-1}$ qua một đường thẳng cắt $P_{i-1}$ thành hai phần liên thông. Đường kính của $P_i$ là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của $P_i$. Tìm đường kính nhỏ nhất có thể của $P_{2013}$.
(Nói cách khác, với đa giác $P_{i-1}$, một lần gấp gồm đường thẳng $l$ chia $P_{i-1}$ thành hai phần liên thông $A,B$, rồi lấy $P_i=A\cup B_l$, trong đó $B_l$ là ảnh đối xứng của $B$ qua $l$.)