Câu hỏi 98
Với số nguyên $n\gt 1$, gọi $n=p_1^{a_1}\cdots p_t^{a_t}$ là phân tích tiêu chuẩn thành thừa số nguyên tố và viết
$$\omega(n)=t,\qquad \Omega(n)=\alpha_1+\cdots+\alpha_t.$$
Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề: Với mọi số nguyên dương $k$ và các số thực dương $\alpha,\beta$, tồn tại số nguyên $n\gt 1$ sao cho
$$\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}\gt \alpha\qquad\text{và}\qquad\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}\lt \beta.$$
$$\omega(n)=t,\qquad \Omega(n)=\alpha_1+\cdots+\alpha_t.$$
Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề: Với mọi số nguyên dương $k$ và các số thực dương $\alpha,\beta$, tồn tại số nguyên $n\gt 1$ sao cho
$$\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}\gt \alpha\qquad\text{và}\qquad\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}\lt \beta.$$