Câu hỏi 57
Cho $X=\{1,2,\dots,100\}$. Xét hàm $f:X\to X$ thỏa đồng thời:
(1) $f(x)\ne x$ với mọi $x\in X$;
(2) $A\cap f(A)\ne\emptyset$ với mọi $A\subseteq X$, $|A|=40$.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho với mỗi hàm $f$ như vậy, tồn tại $B\subseteq X$ có $|B|=k$ và $B\cup f(B)=X$.
**Chú thích.** Với $T\subseteq X$, định nghĩa $f(T)=\{x\mid\text{tồn tại }t\in T\text{ sao cho }x=f(t)\}$.
(1) $f(x)\ne x$ với mọi $x\in X$;
(2) $A\cap f(A)\ne\emptyset$ với mọi $A\subseteq X$, $|A|=40$.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho với mỗi hàm $f$ như vậy, tồn tại $B\subseteq X$ có $|B|=k$ và $B\cup f(B)=X$.
**Chú thích.** Với $T\subseteq X$, định nghĩa $f(T)=\{x\mid\text{tồn tại }t\in T\text{ sao cho }x=f(t)\}$.