Câu hỏi 33
Tìm số cặp có thứ tự các số nguyên $(a, b) \in \{1,2, \ldots, 35\}^2$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $a x+b$ là một "thặng dư bậc hai modulo $x^2+1$ và $35$", tức là tồn tại một đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên sao cho một trong hai điều kiện tương đương sau thỏa mãn:
- tồn tại các đa thức $P, Q$ với hệ số nguyên sao cho $f(x)^2-(a x+b)=\left(x^2+1\right) P(x)+35 Q(x)$;
- hoặc, nói trực quan hơn, dư của phép chia (đa thức) $f(x)^2-(a x+b)$ cho (đa thức) $x^2+1$ là một đa thức có các hệ số (nguyên) đều chia hết cho $35$.
- tồn tại các đa thức $P, Q$ với hệ số nguyên sao cho $f(x)^2-(a x+b)=\left(x^2+1\right) P(x)+35 Q(x)$;
- hoặc, nói trực quan hơn, dư của phép chia (đa thức) $f(x)^2-(a x+b)$ cho (đa thức) $x^2+1$ là một đa thức có các hệ số (nguyên) đều chia hết cho $35$.