Câu hỏi 191
Các ma trận $A \in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{C})$ và $B \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{C})$, trong đó $m \geq n \geq 2$, có tính chất: tồn tại $k \in \mathbb{N}^{*}$ và $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k} \in \mathbb{C}$ sao cho
$$
a_{k}(A B)^{k}+a_{k-1}(A B)^{k-1}+\cdots+a_{1}(A B)+a_{0} I_{m}=O_{m}
$$
còn
$$
a_{k}(B A)^{k}+a_{k-1}(B A)^{k-1}+\cdots+a_{1}(B A)+a_{0} I_{n} \neq O_{n}.
$$
Chứng minh rằng $a_{0}=0$.
$$
a_{k}(A B)^{k}+a_{k-1}(A B)^{k-1}+\cdots+a_{1}(A B)+a_{0} I_{m}=O_{m}
$$
còn
$$
a_{k}(B A)^{k}+a_{k-1}(B A)^{k-1}+\cdots+a_{1}(B A)+a_{0} I_{n} \neq O_{n}.
$$
Chứng minh rằng $a_{0}=0$.